概要
ダブリングキューブを使用する現代のバックギャモンにおいてゲーム勝率の見積もりはプレイヤーの得点の期待値を，あるいはマッチ勝率を最大化するために重要である．レースでのキューブアクションはしばしばピップカウントによって決定される．本記事では，レースを単純化した1-checker modelを用いて，各プレイヤーのピップカウントによるゲーム勝率の変化を示し，レースにおけるキューブアクションのヒューリスティクスとして重要な8-9-12 Ruleの有効性について考察する．
8-9-12 Rule
バックギャモンにおける8-9-12 Rule*1とは，レースにおいて，ピップカウントに基づいて以下のようにキューブアクションを決定するヒューリスティクスである．もちろん，ポイントマッチの場合はスコアによってキューブアクションが変わることも多く，その有効性には限りがあるが，レースにおける基本的なキューブアクションの基準として広く知られている．
- レースで自分が8%以上リード*2していれば，ダブルをすべきである．
- レースで自分が9%以上リードしていれば，リダブルをすべきである．
- レースで自分が12%以上リードしていれば，相手はパスすべきである．
8-9-12 Ruleが使えるレース序盤
実際に8-9-12 Ruleを用いてキューブアクションを決定する例を示そう．次の図における白のキューブアクションを考える．
白はピップカウントで10.8%リードしているので，8-9-12 Ruleによればここでダブルをすべきである．また，相手はテイクをすべきである．このキューブアクションはeXtreme Gammon 2による解析結果と一致する．
8-9-12 Ruleが使えない最終盤
それでは，次の例ではどうだろうか．
この例では，ピップカウントは白，黒ともに6だが，白の勝率は81%もあるので，ダブルをすべきである．また，黒はパスすべきである．これは8-9-12 Ruleとは異なるキューブアクションである．
1-checker modelにおけるゲーム勝率
前節での例のように，8-9-12 Ruleはレースの序盤から中盤では役に立つが，最終盤では役に立たなくなることが多い．最終盤では単純なピップカウントよりもベアオフした枚数やEPCの重要性が高まり，先手であることの価値が高まるなど，レース中盤までとはキューブアクションの基準を変える必要がある．それでは，手軽なキューブアクションの基準である8-9-12 Ruleはレースのうちいつからいつまで使うことができるのだろうか．
本記事では，1-checker modelにおけるゲーム勝率を計算し，その変化を観察することで，8-9-12 Ruleの有効性について考察する．
1-checker modelとは，各プレイヤが各1枚のチェッカーを持ち，仮想的な非常に長い (もしかしたらインナーボードに数百ものポイントがあるような) ボードでレースを行うとする，レースを単純化したモデルである．実際のバックギャモンにおけるレースと異なり，駒が各1枚なのでチェッカープレイは常に1通りとなり，例えば動的計画法によって容易に勝率の計算ができる．
計算結果
ピップカウントによる勝率
1-checker modelにおける，各プレイヤーのピップカウントによる先手の勝率を次に示す．縦軸は先手のピップカウント，横軸は後手のピップカウントの値で，10ピップごとに勝率を示している．
1 \ 2 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 10 .782 .947 .996 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 20 .203 .686 .911 .982 .997 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 30 .050 .275 .642 .872 .966 .992 .998 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 40 .006 .082 .313 .622 .841 .947 .986 .996 .999 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 50 .000 .017 .115 .335 .608 .816 .930 .978 .994 .998 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 60 .000 .003 .032 .142 .351 .598 .796 .913 .969 .990 .997 .999 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 70 .000 .000 .007 .048 .164 .363 .591 .779 .898 .960 .986 .995 .998 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 80 .000 .000 .001 .013 .063 .183 .373 .585 .764 .885 .951 .981 .994 .998 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 90 .000 .000 .000 .003 .020 .078 .199 .380 .580 .752 .872 .942 .976 .991 .997 .999 1.00 1.00 1.00 1.00 100 .000 .000 .000 .000 .005 .028 .091 .213 .387 .576 .741 .860 .933 .971 .989 .996 .998 1.00 1.00 1.00 110 .000 .000 .000 .000 .001 .008 .036 .104 .226 .392 .572 .732 .850 .925 .966 .986 .994 .998 .999 1.00 120 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .012 .044 .116 .236 .397 .569 .723 .840 .917 .960 .983 .993 .997 .999 130 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .003 .016 .052 .126 .246 .401 .566 .716 .831 .909 .955 .980 .991 .996 140 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .005 .021 .060 .136 .255 .405 .564 .709 .823 .901 .950 .976 .990 150 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .007 .025 .068 .146 .262 .408 .562 .702 .815 .894 .944 .973 160 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .010 .030 .075 .155 .270 .411 .560 .697 .808 .887 .939 170 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .003 .012 .035 .083 .163 .276 .414 .558 .691 .801 .881 180 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .004 .015 .040 .090 .170 .282 .416 .556 .687 .794 190 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .001 .006 .018 .045 .096 .177 .288 .418 .555 .682 200 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .000 .002 .007 .021 .050 .103 .184 .293 .420 .554
この表では情報量が多すぎるので，要約した表を用意して，それぞれについて結果を観察しよう．
先手であることの価値
次の表は，各プレイヤーのピップカウントが等しいときの先手の勝率を示したものである．ピップカウントが少ないほど先手であることの価値が高くなる点は直観通りである．
pips winning chance 10 .782 20 .686 30 .642 40 .622 50 .608 60 .598 70 .591 80 .585 90 .580 100 .576 110 .572 120 .569 130 .566 140 .564 150 .562 160 .560 170 .558 180 .556 190 .555 200 .554
8%, 9%, 12%のリード
次の表は，先手のそれぞれのピップカウントの値(first)について，後手に対するリードが8%, 9%, 12%であるとき(後手のピップカウントの端数は切り上げ)の先手の勝率の値である．大雑把にみると50ピップから100ピップ程度のときにリードによる勝率の上昇幅がやや小さくなるが，120ピップ以上では再び大きくなっている．定性的には，ピップカウントが増加することで必要なロール数も増加し，その出目の平均値が確率上の期待値に収束しやすくなることで，8%, 9%, 12%のピップ差を後手が逆転することが難しくなるからであると考える．
first 8% 9% 12% 10 .825 .825 .869 20 .752 .752 .776 30 .731 .731 .756 40 .724 .724 .747 50 .703 .724 .764 60 .706 .726 .762 70 .711 .729 .763 80 .716 .733 .764 90 .721 .737 .766 100 .711 .741 .782 110 .717 .732 .784 120 .723 .737 .787 130 .729 .742 .789 140 .734 .747 .792 150 .728 .751 .805 160 .733 .756 .808 170 .739 .760 .810 180 .744 .765 .813 190 .749 .769 .815 200 .744 .773 .826
75%基準との比較
次の表は，先手のそれぞれのピップカウントの値(first)について，後手のピップカウントであって先手の勝率が60%, 65%, 70%, 75%, 80%, 85%, 90%を超える最小のものを示したものである．また，後手のピップカウントの値について，先手のリードの割合を括弧書きで付す．
75%基準*3に照らすと，先手のピップカウントが30ピップから80ピップのときに8-9-12 Ruleは当てはまりがよく，それ以上のピップカウントで75%基準と8-9-12 Ruleを対応させようとする場合は若干の補正が必要である．例えば，自分のピップカウントが84ピップ以上の場合に相手のピップカウントを1多くみなし，さらに自分のピップカウントが18ピップ増えるごとに1多くみなすとおおむね当てはまる．
first 60% (rate) 65% (rate) 70% (rate) 75% (rate) 80% (rate) 85% (rate) 90% (rate) 10 8 (-20.0%) 9 (-10.0%) 9 (-10.0%) 10 ( 0.0%) 11 ( 10.0%) 12 ( 20.0%) 14 ( 40.0%) 20 18 (-10.0%) 20 ( 0.0%) 21 ( 5.0%) 22 ( 10.0%) 24 ( 20.0%) 27 ( 35.0%) 30 ( 50.0%) 30 29 ( -3.3%) 31 ( 3.3%) 32 ( 6.7%) 34 ( 13.3%) 36 ( 20.0%) 39 ( 30.0%) 43 ( 43.3%) 40 40 ( 0.0%) 42 ( 5.0%) 43 ( 7.5%) 46 ( 15.0%) 48 ( 20.0%) 51 ( 27.5%) 55 ( 37.5%) 50 50 ( 0.0%) 52 ( 4.0%) 54 ( 8.0%) 57 ( 14.0%) 60 ( 20.0%) 63 ( 26.0%) 67 ( 34.0%) 60 61 ( 1.7%) 63 ( 5.0%) 65 ( 8.3%) 68 ( 13.3%) 71 ( 18.3%) 74 ( 23.3%) 79 ( 31.7%) 70 71 ( 1.4%) 73 ( 4.3%) 76 ( 8.6%) 79 ( 12.9%) 82 ( 17.1%) 86 ( 22.9%) 91 ( 30.0%) 80 81 ( 1.2%) 84 ( 5.0%) 87 ( 8.8%) 90 ( 12.5%) 93 ( 16.2%) 97 ( 21.2%) 102 ( 27.5%) 90 92 ( 2.2%) 94 ( 4.4%) 97 ( 7.8%) 100 ( 11.1%) 104 ( 15.6%) 108 ( 20.0%) 114 ( 26.7%) 100 102 ( 2.0%) 105 ( 5.0%) 108 ( 8.0%) 111 ( 11.0%) 115 ( 15.0%) 119 ( 19.0%) 125 ( 25.0%) 110 112 ( 1.8%) 115 ( 4.5%) 118 ( 7.3%) 122 ( 10.9%) 126 ( 14.5%) 130 ( 18.2%) 137 ( 24.5%) 120 122 ( 1.7%) 125 ( 4.2%) 129 ( 7.5%) 132 ( 10.0%) 137 ( 14.2%) 142 ( 18.3%) 148 ( 23.3%) 130 133 ( 2.3%) 136 ( 4.6%) 139 ( 6.9%) 143 ( 10.0%) 147 ( 13.1%) 153 ( 17.7%) 159 ( 22.3%) 140 143 ( 2.1%) 146 ( 4.3%) 150 ( 7.1%) 154 ( 10.0%) 158 ( 12.9%) 163 ( 16.4%) 170 ( 21.4%) 150 153 ( 2.0%) 157 ( 4.7%) 160 ( 6.7%) 164 ( 9.3%) 169 ( 12.7%) 174 ( 16.0%) 181 ( 20.7%) 160 163 ( 1.9%) 167 ( 4.4%) 171 ( 6.9%) 175 ( 9.4%) 180 ( 12.5%) 185 ( 15.6%) 192 ( 20.0%) 170 173 ( 1.8%) 177 ( 4.1%) 181 ( 6.5%) 185 ( 8.8%) 190 ( 11.8%) 196 ( 15.3%) 204 ( 20.0%) 180 184 ( 2.2%) 188 ( 4.4%) 192 ( 6.7%) 196 ( 8.9%) 201 ( 11.7%) 207 ( 15.0%) 215 ( 19.4%) 190 194 ( 2.1%) 198 ( 4.2%) 202 ( 6.3%) 207 ( 8.9%) 212 ( 11.6%) 218 ( 14.7%) 226 ( 18.9%) 200 204 ( 2.0%) 208 ( 4.0%) 212 ( 6.0%) 217 ( 8.5%) 222 ( 11.0%) 229 ( 14.5%) 237 ( 18.5%)
まとめ
本記事では，レースを単純化した1-checker modelを用いて，8-9-12 Ruleと75%基準の対応について考察した．その結果，8-9-12 Ruleは自分のピップカウントが30ピップから80ピップのとき特に有効であることがわかった．これは1-checker modelによる考察なので，より正確にはEPCを見積もる必要があるが，一般的なレースを考えれば，補正のない8-9-12 Ruleだけでもレースのうちかなり広範囲で役に立つことがわかった．さらに補正をかければ，ゲーム開始早々互いに65を連発して実質的なレースが始まった，というような場合にも対応できそうだ．
*1:Tom Keith. Cube Handling In Noncontact Positions. https://bkgm.com/articles/CubeHandlingInRaces/, 2004
*2:例えばピップカウントの値が自分は80，相手は88である場合に，相手のピップカウントは自分のピップカウントより (88 - 80) / 80 = 10%多いことになる．このとき，「自分は10%リードしている」ということにする．
*3:自分の勝率が75%以上であれば相手はパスすべきであるとする，ゲームの得点を最大化しようとするキューブアクションの基準．レースのような，ギャモン勝ちやギャモン負けの可能性のないときによく機能する．