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分数が出てこない行列の対角化問題の作問の手法

数学 作問

本記事の目的

次のような形の問題は，「行列の対角化問題」と呼ばれる問題である．本記事では，これを単に「対角化問題」と呼ぶ．

行列 Aに対し，次のような条件を満たす対角行列 Dと行列 Pの組を1つ求めよ．

D = P^{-1}AP.

対角化問題は，行列やベクトルに関する他の問題 (行列の累乗A^nを nの式として表す問題など) の解法の一部として重要な問題である．

また，問題設定によっては行列 Pの逆行列 P^{-1}を計算する必要もあり，机上で解く場合には分数の取り扱いが面倒な問題としても知られている．行列 Aの成分に計算量を減らす特別な配慮がなければ，計算は大変厄介なものとなるだろう．また，あまりにも煩雑な計算を含む対角化問題は解答者の対角化の技能を確かめるのには不適切な場合もある．

そこで，本記事では対角化問題における行列 A, D, P, P^{-1}のすべての成分が整数となるように設定する作問の手法について記述する．

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nkhrlab challenge 2019 想定解法

CTF Writeup

はじめに

この記事は，2019/1/1 0:00より主催したCTF「nkhrlab challenge 2019」の解説記事である．

次のリンクから問題用のファイルをダウンロードできる．問題用のファイルとサーバは少なくとも2019/1/10 23:59まで有効である．
www.dropbox.com

以下，問題の解法を解説する．

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勝敗グラフと有向閉路の存在性

グラフ アルゴリズム

勝敗グラフ

本記事における勝敗グラフを次のように定義する．勝敗グラフは有向グラフの一種である．

頂点集合 V，辺集合 Aを持つ有向グラフ G = (V, A)を考える．
i, j \in Vに対し a_{i, j}を次のように定義する．
a_{i, j} = \begin{cases} 1 & \left((i, j) \in A\right) \\ 0 & \left((i, j) \notin A\right) \end{cases}.

Gが次に示す条件を満たすとき，かつその場合に限り， Gは勝敗グラフである．
\forall i, j \in V, a_{i, j} + a_{j, i} = \begin{cases} 0 & \left(i = j\right) \\ 1 & \left(i \neq j\right) \end{cases}.

本記事の主張

次の命題は勝敗グラフGが有向閉路を持つことの必要十分条件である．
\exists i, j, k \in V, a_{i, j} + a_{j, k} + a_{k, i} = 3.

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AtCoder に登録したら解くべき精選過去問 10 問を PostgreSQL で解いてみた

競技プログラミング AtCoder AtCoder Beginners Selection SQL PostgreSQL アルゴリズム

はじめに

この記事は，次のQiita記事に「過去問精選 10 問！」として示されている10問の問題をPostgreSQLを用いて解いたものである．
qiita.com

また，AtCoderではこれらの問題をまとめた初心者向け問題集として「AtCoder Beginners Selection」を用意している．

問題

これらの問題では，PostgreSQLで標準入出力を取り扱うことが困難であるため，入力は共通表式(WITH句)を用いていくつかのテーブルとして与え，出力もまたテーブルとするよう，問題を変形している．

また，各問題の解答方針についての解説はすでに公式に公開されているため，本記事では解答方針についての解説を詳しく行うことはせず，主にSQL特有の事情についての解説を中心とする．

0. PracticeA - はじめてのあっとこーだー（Welcome to AtCoder）

問題文の冒頭に「高橋君はデータの加工が行いたいです。」とあるが，SQL(DML)はすでに構造化されたテーブルデータの操作を行うために作られた言語であり，未だ構造化されていない段階のデータを取り扱うのは容易ではないため，この冒頭のみで「はじめてのあっとこーだー」というには難易度の高い問題であることが予感される．果たしてその予感は的中するのだ．

テーブルtblに，標準入力の文字列と「何行目に入力された文字列か」という情報を与える．テーブルは順序を保持しないため何行目であるかの情報が必要である．解答には，テーブルtbl内の情報から必要な部分の文字列を正規表現を用いて切り出し，数値に変換する操作と，文字列の結合操作が必要である．

WITH tbl(num, str) AS
(
  VALUES
  (1, '72'),
  (2, '128 256'),
  (3, 'myonmyon')
)
SELECT
  (
    TO_NUMBER((SELECT str FROM tbl WHERE num = 1), '9999') +
    TO_NUMBER(SUBSTRING((SELECT str FROM tbl WHERE num = 2) FROM '^.*\ '), '9999') +
    TO_NUMBER(SUBSTRING((SELECT str FROM tbl WHERE num = 2) FROM '\ .*$'), '9999')
  )::TEXT ||
  ' ' ||
  (SELECT str FROM tbl WHERE num = 3) AS result
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HarekazeCTF2018: [Misc 127]Unnormalized-form Data 想定解法

CTF HarekazeCTF PostgreSQL Writeup SQL

この記事について

本記事は，HarekazeCTF2018に私が出題した問題 [Misc 127]Unnormalized-form Data の想定解法について解説を行うものである．HarekazeCTF2018の期間中に43チームが本問題のフラグを獲得した． harekaze.com

問題文

Unnormalized-form data is troublesome.

解法

配布された unf.zip を展開して，2つのファイルを得る．

  • operation.txt
  • unf.sql

operation.txt の観察

operation.txt は次のような内容である．

$ sudo nano postgresql.conf
$ sudo /etc/init.d/postgresql reload
[ ok ] Reloading postgresql configuration (via systemctl): postgresql.service.
$ psql -U postgres -c "CREATE DATABASE unf"
CREATE DATABASE
$ psql -U postgres -d unf < unf.sql >> /dev/null
$ psql -U postgres -d unf -c "SELECT FLAG()"
             flag
-------------------------------
 HarekazeCTF{****************}
(1 row)

$

この記述はフラグの取得までの手順を示している．

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CTFサーバとの自動対話

CTF Ruby

CTFでは指示されたサーバに接続して問題を解くことがよくある．例えば次のようにnetcatを利用した接続の方法が示される問題はその典型である．

nc 192.168.61.74 6174

しかしながら，このコマンドを実際に端末で実行してサーバと対話的に通信しても問題が解けない場合がある．例えば，サーバとの接続に時間制限があり，しかもその時間が問題を解く人にとってあまりに短い場合がこれに当てはまる．

例えば，サーバから送られてくる2つの整数の掛け算20題を10秒以内に計算する問題が出題されたとしよう．この場合は，人が暗算で問題を解き，キーボードを使って解答を送信するという一連の操作20題分を10秒以内で行うことはほとんど不可能であると考えられる．

このような問題を解くにあたって，サーバとの対話的通信を自動的に行うクライアントを作成することが有効である．また，サーバからのデータの代わりに標準入力のデータをクライアントに与えることができれば，クライアントの動作の検証も容易である．

そこで，この記事では2つの整数の掛け算20題を計算する問題を出題するサーバスクリプト，これに対応したサーバとの自動対話および標準入力による動作確認が行えるクライアントスクリプトを紹介する．

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Tokyo Westerns CTF 3rd 2017(2017/9/2 - 2017/9/4) - Writeup

Writeup CTF セキュリティ

チーム「Harekaze」のメンバーとしてCTF「Tokyo Westerns CTF 3rd 2017」に参加した．チームは940点を獲得し33位となった．個人では2個のフラグを得ることができたので，Writeupを書く．

[PPC 24]Palindromes Pairs - Coding Phase -

空白区切りで与えられる文字列のリストに対して，そのうちの2個を取り出し結合したものが回文となる組み合わせがいくつあるかを答える問題．文字列のリストの大きさは高々50という制約のため，すべての組み合わせをしらみつぶしに調べても高々2500個の組み合わせを調べればよいことが明らかで，これは十分に短い時間で実行可能である．そこで，素朴な方法を実装した次のRubyスクリプトを作成した．

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